Z 分數
計算 z 分數和常態分佈機率
如何使用Z 分數
- 1輸入要標準化的原始分數。
- 2輸入資料集的均值與標準差。
- 3讀取 z 分數及其反映的數值位置。
什麼是 Z 分數？
z = (x − μ) / σZ 分數表示某個數值高於或低於均值多少個標準差。正值表示高於平均，負值表示低於平均。
Z 分數能讓你在不同分佈的數值之間用統一尺度進行比較，並識別離群值。
Z 分數（標準分數）的公式是 z = (x − μ) / σ，它回答一個問題：**這個數值距離平均值有多少個標準差**。它的價值在於讓不同量綱的資料可以比較——比如一個學生數學 85 分（全班平均 80、標準差 5）和語文 90 分（平均 85、標準差 8），數學 Z = 1、語文 Z = 0.625，說明數學相對更好，儘管語文絕對分更高。
正態分佈下的經驗法則（68-95-99.7）：約 68% 的資料落在 ±1 個標準差內，95% 落在 ±2 個內，99.7% 落在 ±3 個內。這意味著 |Z| > 2 已經屬於相對少見（約 5%），|Z| > 3 則極為罕見（0.3%）。這也是很多質量控制和異常檢測把 ±3σ 作為警戒線的原因——超出這個範圍的觀測值，大機率不是隨機波動。
| Z 分數 | 百分位 | 含義 | 常見場景 |
|---|---|---|---|
| −2 | 2.3% | 遠低於平均 | 需關注 |
| −1 | 15.9% | 低於平均 | 正常下限附近 |
| 0 | 50% | 等於平均 | 中位數 |
| 1 | 84.1% | 高於平均 | 良好 |
| 2 | 97.7% | 遠高於平均 | 優秀 |
| 3 | 99.9% | 極少數 | 異常高 |
標準正態分佈下不同 Z 分數對應的百分位
常見問題
z 分數為 0 意味著什麼？
表示數值恰好等於資料集的均值。
z 分數越高一定越好嗎？
未必。它只表示離均值的距離，是否“好”取決於具體情境。
如何用 z 分數求百分位數？
可在標準正態分佈表中查該 z 分數，或結合累積分佈求得對應的百分位。
Z 分數和百分位是一回事嗎？
不是，但可以通過正態分佈互相換算。Z 分數是「距平均幾個標準差」，百分位是「超過了百分之多少的人」。在標準正態分佈下，Z = 1 對應第 84.1 百分位（超過約 84% 的人）。**這個換算只在資料服從正態分佈時成立**——如果資料分佈明顯偏斜（如收入分佈），Z 分數與百分位的對應關係會偏離查表值。
樣本量小的時候還能用嗎？
要謹慎。Z 分數假設總體標準差已知且樣本量足夠大（通常 n > 30）。樣本量小時，樣本標準差的估計不穩定，應使用 t 分佈而非正態分佈（t 檢驗）。t 分佈的尾部更厚，意味著在同樣的統計量下需要更大的值才達到顯著性。樣本量越小，t 分佈與正態分佈的差異越大——這也是為什麼小樣本研究更難得到顯著結論。