體積
計算 3D 形狀的體積
如何使用體積
- 1選擇立體圖形：長方體、正方體、圓柱、球、錐體等。
- 2輸入對應尺寸（長/寬/高、半徑、高）。
- 3檢視體積，單位可在 mm³ / cm³ / m³ / L 之間切換。
體積如何計算？
長方體 = 長×寬×高；圓柱 = πr²h；球 = 4/3·πr³體積是三維物體所佔空間大小，單位為長度的立方。長方體體積等於長乘寬乘高；圓柱是底面積 πr² 乘高；球為 4/3πr³。
注意體積單位換算：1 立方米 = 1000 升。液體常用升（L）或毫升（mL）表示，而固體常用 cm³。裝修買漆、裝箱、 aquarium 容量都依賴體積計算。
體積公式有明顯的規律：**柱體（上下一樣粗）= 底面積 × 高**，**錐體（收縮到一點）= ⅓ × 底面積 × 高**。圓錐是圓柱的三分之一、稜錐是稜柱的三分之一——這個 ⅓ 可以用實驗驗證：用圓錐容器裝滿水倒進等底等高的圓柱，正好三次倒滿。記住這條規律，就不用死記十幾個公式。
體積和容積的換算在生活和工程中很常用：**1 升 = 1 立方分米 = 1000 立方釐米 = 1000 毫升**；1 立方米 = 1000 升。所以一個 2m × 1m × 0.5m 的魚缸體積是 1 m³，能裝 1000 升水（實際養魚要留出 10% 餘量，約裝 900 升）。**注意水在 4°C 時密度最大，1 升水約 1 千克**，這個換算在物流和化工裡天天用。
| 圖形 | 公式 | 示例（單位 m） | 體積 |
|---|---|---|---|
| 正方體 | a³ | a = 2 | 8 m³ |
| 長方體 | 長×寬×高 | 3×2×1.5 | 9 m³ |
| 圓柱 | πr²h | r=1, h=3 | 9.42 m³ |
| 圓錐 | ⅓πr²h | r=1, h=3 | 3.14 m³ |
| 球 | ⁴⁄₃πr³ | r = 1 | 4.19 m³ |
| 三稜柱 | 底面積 × 高 | 底 6, 高 4 | 24 m³ |
| 稜錐 | ⅓ × 底面積 × 高 | 底 9, 高 4 | 12 m³ |
常見立體圖形體積公式與示例
常見問題
體積和容積一樣嗎？
概念接近。容積多指容器內部可容納的量（常用 L/mL），體積指物體佔據的空間（常用 m³/cm³），數值可等價換算。
升和立方米怎麼換？
1 立方米 = 1000 升，1 升 = 1000 毫升 = 1000 cm³。本工具可直接切換顯示。
不規則物體體積怎麼測？
可用排水法（浸入量筒測水位上升量），工程上也可三維掃描後計算。
不規則形狀怎麼算體積？
最實用的是**排水法**：把物體完全浸入裝滿水的容器，收集溢位的水並測量其體積，即為物體體積（阿基米德原理，傳說他就是這樣鑑定皇冠是否摻假的）。這種方法對任何形狀都有效。工程上則用三維掃描或把物體切成薄片累加（積分思想）。
為什麼球體積公式裡有 4/3？
可以通過「球是無數個小錐體的集合」來理解：把球面分成很多小塊，每塊與球心連成一個小錐體，所有錐體的高都是 r，底面積之和就是球表面積 4πr²。體積 = ⅓ × 表面積 × r = ⅓ × 4πr² × r = ⁴⁄₃πr³。這也解釋了為什麼球的表面積恰好是體積對 r 的導數——這個關係對所有凸體都成立。