三角形
從邊和角計算三角形屬性
如何使用三角形
- 1輸入三角形的任意三個已知值，例如兩邊一角。
- 2若你的輸入支援多種解法，選擇求解方法。
- 3檢視未知的邊長、角度、面積與周長。
解三角形
正弦定理：a/sin A = b/sin B；餘弦定理：c² = a² + b² - 2ab cos C在已知部分足夠時，三角學能求出其餘量；使用哪條定律取決於你已知的是邊還是角。
內角和為常數 180 度，這是驗證解出的三角形是否有效的關鍵檢查。
三角形的三條基本性質：**內角和恆為 180°**、**任意兩邊之和大於第三邊**（這也是判斷三邊能否構成三角形的依據）、**大邊對大角**。已知條件不同，使用的定理也不同：已知兩邊及夾角用餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)；已知兩角一邊或兩邊及一邊的對角用正弦定理 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
面積計算有多種方法，按已知條件選擇最方便的一種：**已知底和高**用 底×高÷2；**已知兩邊及夾角**用 S = ½ab·sin(C)；**已知三邊**用海倫公式 S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]，其中 p = (a+b+c)/2 是半周長。海倫公式的好處是不需要求高，測量土地時只要量三條邊就能算面積，實際應用中非常方便。
| 型別 | 角度 | 邊長關係 | 面積公式 |
|---|---|---|---|
| 等邊三角形 | 60°, 60°, 60° | a = b = c | √3/4 × a² |
| 等腰直角 | 45°, 45°, 90° | 1 : 1 : √2 | a² / 2 |
| 30-60-90 | 30°, 60°, 90° | 1 : √3 : 2 | √3/2 × a²（a 為短邊） |
| 3-4-5 直角 | 約 37°, 53°, 90° | 3 : 4 : 5 | 6（兩直角邊積÷2） |
| 等腰三角形 | 兩底角相等 | 兩腰相等 | 底 × 高 ÷ 2 |
常見特殊三角形的邊長與角度
常見問題
該用哪條定律？
已知一邊及其對角時用正弦定理；已知兩邊及其夾角時用餘弦定理。
為什麼角度加起來不是 180？
舍入會造成微小漂移；求解時保留完整精度，只在最後舍入。
任意輸入都能解嗎？
不是。某些組合（如僅有三個角）無法確定三角形的大小。
怎麼判斷三條線段能否組成三角形？
只需檢查「較短兩邊之和是否大於最長邊」。例如 3、4、7：3+4 = 7，等於最長邊，退化成一條直線，不能構成三角形；3、4、6：3+4 = 7 > 6，可以。不需要檢查三次，檢查這一次就夠了——因為最長邊加任意一邊必然大於第三邊。
正弦定理出現兩解怎麼辦？
「已知兩邊及其中一邊的對角」（SSA）是唯一可能有兩解、一解或無解的情形，稱為「歧義情況」。例如已知 a = 10、b = 13、A = 40°，可能有兩個不同三角形都滿足條件。判斷方法：比較 a 與 b·sin(A) 的大小。遇到這種情況要結合題目語境判斷哪個解合理，或明確指出存在兩種可能。