表面積
計算 3D 形狀的表面積
如何使用表面積
- 1選擇三維形狀（長方體、球、圓柱、圓錐等）。
- 2輸入其尺寸，如半徑、高度或邊長。
- 3檢視總表面積，必要時單獨給出側面積。
計算表面積
長方體 = 2(lw + lh + wh)；球 = 4πr²；圓柱 = 2πr(r + h)表面積是一個立體所有外表面的面積之和，以平方單位度量。
它關係到製作、塗漆或包裹物體所需材料，而體積度量的是容量。
表面積公式的記憶有個規律：**多面體的表面積是各個面面積之和**。立方體 6 個相同的正方形面，所以是 6a²；長方體三對相同的面，所以是 2(lw + lh + wh)。含曲面的圖形則需要展開理解——圓柱的側面展開是個矩形，寬等於底面周長 2πr、高等於 h，所以側面積 2πrh，再加上下兩個底面 2πr²。
實際應用中容易出錯的地方是「要算哪些面」。給房間刷塗料只需算四壁加天花板（不算地板），給無蓋水箱做鐵皮只需一個底面加側面。另一個常見混淆是圓錐的母線 l 和高 h——母線是斜邊，l = √(r² + h²)，公式裡用的是母線而非高。搞混會讓側面積算錯。
| 形狀 | 表面積 | 體積 | 引數說明 |
|---|---|---|---|
| 立方體 | 6a² | a³ | a = 稜長 |
| 長方體 | 2(lw + lh + wh) | lwh | l/w/h = 長/寬/高 |
| 球體 | 4πr² | (4/3)πr³ | r = 半徑 |
| 圓柱 | 2πr² + 2πrh | πr²h | r = 底面半徑，h = 高 |
| 圓錐 | πr² + πrl | (1/3)πr²h | l = 母線長 |
常見立體圖形的表面積與體積公式
常見問題
表面積與體積？
面積覆蓋外部（平方單位）；體積填充內部（立方單位）。
什麼是側面積？
僅側面，不含頂面和底面。
為何是平方單位？
面積是二維的，因此單位取二次方。
為什麼球的表面積正好是 4πr²？
有個巧妙的解釋：球的表面積恰好等於它的外切圓柱的側面積（阿基米德球柱定理）。外切圓柱底面半徑 r、高 2r，側面積 = 2πr × 2r = 4πr²，與球表面積相等。阿基米德對這個發現極為自豪，要求把球內切於圓柱的圖形刻在自己的墓碑上。另一個記憶方式：球表面積正好是同半徑圓面積的 4 倍。
表面積和體積哪個隨尺寸增長更快？
體積更快——表面積按尺寸平方增長，體積按立方增長。這個差異有重要的實際意義：物體變大時，體積（決定重量、產熱）增長快於表面積（決定散熱、承重面積）。這就是為什麼大象有巨大的耳朵（增加散熱面積）、為什麼小體型動物更怕冷（相對錶面積大、散熱快）、為什麼大型藥片難以溶解（相對錶面積小）。