標準差
計算標準差和方差
如何使用標準差
- 1輸入您的資料集，多個數字用逗號分隔。
- 2選擇是總體（population）還是樣本（sample）。
- 3檢視結果：計算器顯示標準差與方差。
什麼是標準差？
σ = √( Σ(xᵢ − μ)² / N ) （總體）標準差衡量一組資料相對於平均值的離散程度。數值越小，說明資料越集中；數值越大，說明波動越大。
它可用於比較不同組的一致性、評估金融風險，或理解考試成績與科學測量中的變異程度。
標準差是方差的平方根，把“平方偏差均值”還原回原始單位，因此比方差更易解讀。兩個均值相近但標準差不同的組（如兩家工廠的零件尺寸），標準差小者質量更穩定。
經驗法則（正態分佈下）：約 68% 的資料落在均值 ±1 個標準差內，95% 落在 ±2 個內，99.7% 落在 ±3 個內。據此可快速判斷某個觀測值是否“異常”（如超出 ±3σ 的離群點）。
| 資料集 | 均值 | 標準差 | 解讀 |
|---|---|---|---|
| 10, 10, 10, 10 | 10 | 0 | 完全無波動 |
| 8, 9, 10, 11, 12 | 10 | ≈1.41 | 輕微離散 |
| 1, 5, 10, 15, 19 | 10 | ≈6.51 | 高度離散 |
| 0, 10, 10, 20 | 10 | ≈7.07 | 兩極分化 |
| 9.9, 10, 10.1 | 10 | ≈0.08 | 幾乎完全一致 |
不同資料集的離散程度對比（均值均為 10）
常見問題
總體還是樣本，應該選哪個？
當您擁有該組的全部成員（例如一個班級的所有學生）時選總體；當資料只是子集、想估計整體時使用樣本。
為什麼樣本標準差更大？
樣本公式除以 n−1 而非 n，這修正了用同一組資料估計均值帶來的偏差，得到的離散度更公正、略大。
結果的單位是什麼？
標準差始終與原始資料單位一致，因此可方便地與平均值一起解讀。
用哪個標準差判斷異常值？
常用 ±2σ 或 ±3σ 作為警戒線；超出 ±3σ 的觀測在正態假設下機率小於 0.3%，值得單獨核查。
標準差和方差是什麼關係？
方差是標準差的平方；報告時多用標準差（與原始單位一致），做統計推導時多用方差（便於求和與求導）。