坡
計算直線的斜率、方程式和角度
如何使用坡
- 1輸入兩點座標 (x1, y1) 與 (x2, y2)。
- 2執行計算器求斜率與 y 軸截距。
- 3檢視斜率 m、截距 b 與直線方程 y = mx + b。
求直線斜率
m = (y2 − y1) / (x2 − x1)；b = y1 − m × x1斜率衡量直線傾斜程度：縱移除以橫移，即 x 每變化一單位時 y 的變化。
正斜率從左到右上升，負斜率下降，零為水平，未定義斜率對應豎直線。
斜率 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)，表示「橫向走 1 個單位時縱向變化多少」。m > 0 右上傾斜、m < 0 右下傾斜、m = 0 水平、**垂直線斜率不存在（分母為 0）**。它與傾斜角 θ 的關係是 m = tan(θ)，反過來 θ = arctan(m)。這兩個轉換在工程和遊戲開發裡經常用到。
斜率還有幾個實用結論：**兩條直線平行 ⟺ 斜率相等；兩條直線垂直 ⟺ 斜率乘積為 −1**（即互為負倒數，如 2 和 −1/2）。這個判定比計算夾角快得多。另外**坡度百分比 ≠ 角度**：100% 坡度是 45° 而不是 90°，50% 坡度約 26.6°。道路標識上的「10% 陡坡」指的是每前進 100 米上升 10 米，對應約 5.7°。
| 斜率 m | 角度 | 百分比坡度 | 典型場景 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 0% | 水平面 |
| 0.0875 | 5° | 8.75% | 緩坡，輪椅可達 |
| 0.176 | 10° | 17.6% | 地下車庫坡道 |
| 0.5 | 26.6° | 50% | 陡坡 |
| 1 | 45° | 100% | 等腰直角三角形 |
| 1.732 | 60° | 173.2% | 很陡 |
| ∞ | 90° | — | 垂直（斜率不存在） |
斜率與對應角度、常見坡度對照
常見問題
若 x 值相等？
直線為豎直，斜率無定義（除以零）。
斜率為 1 意味著什麼？
每水平移動一單位，垂直上升一單位，即 45° 角。
如何得到方程？
已知 m 後，任一點代入 b = y − mx 即得 y = mx + b。
斜率在迴歸分析裡是什麼意思？
在 y = a + bx 中，b 就是斜率，表示 x 每增加 1 個單位時 y 的平均變化量。例如迴歸方程「房價 = 50 + 2×面積」，斜率 2 表示面積每增加 1 平方米，房價平均增加 2 萬元。斜率的正負號反映相關方向，大小反映影響強度，但要注意相關不等於因果。
導數和斜率有什麼關係？
導數是曲線在某一點的切線斜率，斜率是直線這種特殊情形（各點導數相同）。對曲線來說斜率隨位置變化，需要用導數求瞬時變化率：函式 f(x) 在 x₀ 處的導數 f'(x₀) 就是該點切線的斜率。所以「斜率」是「導數」在直線上的特例，兩者本質都是「變化率」。