根
計算平方根、立方根和 n 次根
如何使用根
- 1輸入被開方數（根號下的數）以及根指數，例如平方根為 2。
- 2若提供選項，選擇是否允許對負數輸入返回複數結果。
- 3檢視主根；對於平方根，還會給出正負兩個值。
理解根號
x 的 n 次方根 = y，滿足 y^n = x；平方根即指數為 2根回答的是「哪個數自乘到這個次數會得到被開方數」，其中平方根最常見。
負數的偶次根不是實數，因此計算器視模式不同，要麼報錯，要麼返回複數。
n 次方根是冪運算的逆：若 xⁿ = a，則 x 是 a 的 n 次方根，記作 ⁿ√a 或 a^(1/n)。**偶數次方根要求被開方數非負**（負數在實數範圍內沒有平方根），**奇數次方根可以是負數**（−8 的立方根是 −2，因為 (−2)³ = −8）。計算器對負數開偶次方會報錯或給出複數結果，這是正常的。
手算平方根可以用**牛頓迭代法**，這也是計算器內部的演算法：猜測值 x，用 (x + a/x) ÷ 2 作為新猜測，反覆迭代會迅速收斂。算 √10：猜 3 → (3+10/3)/2 = 3.1667 → (3.1667+10/3.1667)/2 = 3.1623，兩步就精確到小數點後 4 位。**這個「取平均」的思路同樣適用於手算立方根和更復雜的方程求根。**
| 被開方數 | 平方根 | 立方根 | 備註 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1.4142 | 1.2599 | √2 是最早發現的無理數 |
| 3 | 1.7321 | 1.4422 | 等邊三角形高 = 邊長×√3/2 |
| 4 | 2 | 1.5874 | 完全平方數 |
| 5 | 2.2361 | 1.7100 | 黃金比例含 √5 |
| 8 | 2.8284 | 2 | 2√2 / 完全立方數 |
| 10 | 3.1623 | 2.1544 | 數量級常用 |
| 27 | 5.1962 | 3 | 完全立方數 |
| 100 | 10 | 4.6416 | 完全平方數 |
常用方根數值速查
常見問題
為什麼平方根有兩個？
正數和負數平方都會得到相同的值；顯示的主根是其中的非負數。
可以對負數開根嗎？
負數的奇次根（如立方根）是實數，但偶次根不是實數，除非開啟複數模式。
什麼是根指數？
它是標明取哪種根的小數字：2 為平方根，3 為立方根，依此類推。
√(a+b) 等於 √a + √b 嗎？
不等於，這是最常見的錯誤。反例：√(9+16) = √25 = 5，而 √9 + √16 = 3 + 4 = 7。根號只對乘除有分配律：√(a×b) = √a × √b，√(a/b) = √a / √b。所以化簡 √12 要拆成 √(4×3) = 2√3，這是正確的做法；但 √(4+3) 不能拆。
為什麼 √2 是無理數？
經典反證法：假設 √2 = p/q（最簡分數），則 p² = 2q²，說明 p² 是偶數，p 也必是偶數，設 p = 2k，代入得 4k² = 2q²，即 q² = 2k²，q 也是偶數。p、q 都是偶數與「最簡分數」矛盾。所以 √2 無法表示成分數，是無理數（小數位無限不迴圈）。這個證明據傳讓畢達哥拉斯學派的希帕索斯付出了生命代價。