二次公式
求解二次方程式求根
如何使用二次公式
- 1輸入二次方程 a x^2 + b x + c = 0 的係數 a、b、c。
- 2確保 a 不為零，否則方程是一元一次而非二次。
- 3檢視根、判別式，以及解是實數還是複數。
求解二次方程
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)；判別式 D = b² - 4ac二次公式找出拋物線與座標軸相交的兩個 x 值；判別式則告訴你存在多少個實數解。
判別式為正時有兩個實根，為零時有一個重根，為負時有兩個共軛復根。
二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的求根公式是 x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)。**先看判別式 Δ = b² − 4ac** 能省很多事：Δ < 0 說明無實數解，直接可以停手；Δ = 0 說明是完全平方，只有一個重根。很多應用題（拋物線軌跡、利潤最大化、面積最值）都會走到這一步。
二次函式 y = ax² + bx + c 的影像是拋物線：a > 0 開口向上有最小值，a < 0 開口向下有最大值。頂點橫座標 x = −b/(2a)，**這個公式比求根公式更常用**——求最大利潤、最小成本、最高拋物線點，本質都是求頂點。物理裡拋體運動的最高點、經濟裡利潤最大化的產量，答案都是 −b/(2a)。
| 判別式 Δ = b²−4ac | 根的情況 | 影像與 x 軸交點 | 示例 |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | 兩個不等實根 | 2 個交點 | x²−5x+6=0 → x=2,3 |
| Δ = 0 | 兩個相等實根 | 1 個（相切） | x²−4x+4=0 → x=2 |
| Δ < 0 | 無實根（兩個復根） | 0 個 | x²+x+1=0 |
| Δ 為完全平方數 | 兩個有理根 | 可因式分解 | 2x²−7x+3=0 → x=3,0.5 |
判別式與根的情況
常見問題
判別式告訴我什麼？
它的符號揭示根的性質：正對應兩個實根，零對應一個，負對應兩個復根。
為什麼有兩個答案？
平方項通常會產生兩個對稱的解；公式中的正負號同時涵蓋兩者。
如果 a 為零怎麼辦？
那是一元一次方程，只有一個解；應改用線性方程求解器。
韋達定理怎麼用？
兩根之和 x₁+x₂ = −b/a，兩根之積 x₁x₂ = c/a。不需要解方程就能得到根的關係，常用於「已知一根求另一根」「構造新方程」等題型。反過來也成立：已知兩數之和與積，就能直接寫出以它們為根的二次方程 x² − (和)x + 積 = 0。
a 可以等於 0 嗎？
不行。a = 0 時二次項消失，方程退化成一次方程 bx + c = 0，求根公式分母為 0 無意義。遇到這類方程要先判斷最高次項係數是否為 0，再選擇對應方法。這在含引數方程（如 kx² + 2x + 1 = 0）裡尤其重要，需要分類討論。