畢達哥拉斯定理
利用畢達哥拉斯定理計算缺失邊
如何使用畢達哥拉斯定理
- 1確認已知兩邊：直角邊 a、b，或一邊與斜邊 c。
- 2輸入已知數值，未知邊留空（也可只求斜邊）。
- 3檢視第三邊長度，並附勾股定理的代數推導過程。
勾股定理是什麼？
a² + b² = c²（c 為斜邊）勾股定理指出：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。它是歐幾里得幾何的基礎定理，廣泛應用於建築、導航、圖形與訊號處理。
求斜邊時用 √(a²+b²)；已知斜邊與一邊求另一直角邊則用 √(c²−a²)。注意它只適用於直角三角形，非直角需用餘弦定理。
勾股定理 a² + b² = c² 只適用於**直角三角形**，c 必須是直角所對的邊（斜邊，最長邊）。已知任意兩邊就能求第三邊：c = √(a²+b²)，a = √(c²−b²)。判斷一個三角形是不是直角三角形，把三邊平方後看是否滿足小的兩個之和等於最大的那個（如 5、12、13：25+144 = 169 = 13²，成立）。
勾股數可以用公式生成：取 m > n 的正整數，則 a = m²−n²，b = 2mn，c = m²+n² 必構成勾股數。取 m=2、n=1 得 (3,4,5)，m=3、n=2 得 (5,12,13)。**常見勾股數值得背下來**（3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25），裝修放線時木工師傅常用「3、4、5 法」檢查牆角是否為直角：量出 3 米和 4 米，兩點間距正好 5 米就是直角。
| 直角邊 a | 直角邊 b | 斜邊 c | 型別 |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 本原勾股數 |
| 5 | 12 | 13 | 本原勾股數 |
| 6 | 8 | 10 | 3-4-5 的倍數 |
| 8 | 15 | 17 | 本原勾股數 |
| 7 | 24 | 25 | 本原勾股數 |
| 9 | 40 | 41 | 本原勾股數 |
| 1 | 1 | 1.414 | 等腰直角三角形 |
常見勾股數與直角三角形示例
常見問題
只適用於直角三角形嗎？
是。勾股定理僅對直角三角形成立；一般三角形要用餘弦定理 c²=a²+b²−2ab·cosC。
怎麼求斜邊？
將兩直角邊平方相加再開平方：c = √(a²+b²)。
單位需要一致嗎？
需要。a、b、c 必須同一長度單位，結果才是該單位下的邊長。
勾股定理能用於非直角三角形嗎？
不能直接用，要用餘弦定理的推廣：c² = a² + b² − 2ab·cos(C)，其中 C 是邊 c 的對角。當 C = 90° 時 cos = 0，就退化成勾股定理。所以勾股定理是餘弦定理在直角情形下的特例，實際上「直角」的判斷標準是角而非邊。
三維空間裡的距離怎麼算？
勾股定理可以直接推廣：長方體對角線 d = √(長² + 寬² + 高²)。例如 3×4×12 的箱子，對角線 = √(9+16+144) = √169 = 13。這本質上是在三維座標系下連續應用兩次勾股定理，也是歐氏距離公式的來源。