可能性
計算事件和組合的機率
如何使用可能性
- 1選擇機率場景（單一事件、兩個事件或組合）。
- 2輸入有利結果數與總結果數。
- 3以分數、小數與百分比三種形式讀取機率。
理解機率
P = 有利結果數 / 總結果數機率量化某事件發生的可信度，範圍從 0（不可能）到 1（必然），等於有利結果數與所有可能結果數之比。
它是博弈、風險評估、質量管控以及任何在不確定性下做決策的基礎。
機率的三條基本規則：**加法規則**（互斥事件，P(A∪B) = P(A) + P(B)）、**乘法規則**（獨立事件，P(A∩B) = P(A) × P(B)）、**補集規則**（P(不發生) = 1 − P(發生)）。絕大多數機率題都是這三條的組合。判斷是否獨立是關鍵前提——抽牌不放回時，第二次的機率會受第一次影響，就不能直接相乘。
**生日悖論**是最好的直覺教材：23 人中有兩人生日相同的機率就超過 50%，60 人時高達 99%。原因是比較的是「任意兩人配對」，23 人能配出 253 對，遠多於直覺中的 23 次比較。正確演算法是先算「所有人都不同」的機率：365/365 × 364/365 × … × 343/365 ≈ 49.3%，再用 1 減去它。**這種「先算反面」的思路能解決大量「至少一個」類問題。**
| 事件 | 機率 | 大約頻率 |
|---|---|---|
| 拋硬幣正面 | 1/2 | 2 次約 1 次 |
| 骰子擲出 6 | 1/6 ≈ 16.7% | 6 次約 1 次 |
| 連續 3 次正面 | 1/8 = 12.5% | 8 組約 1 組 |
| 連續 10 次正面 | 1/1024 ≈ 0.098% | 約千分之一 |
| 23 人中同生日 | 約 50.7% | 2 組約 1 組 |
| 雙色球頭獎 | 約 1/1772 萬 | 極罕見 |
| 被雷擊中（年） | 約 1/100 萬 | 極罕見 |
常見事件的機率直覺對照
常見問題
機率為 0.5 意味著什麼？
表示事件發生與不發生的機會相等——50% 的機率，如同公平硬幣正面朝上。
機率如何表示？
可表示為分數、0 到 1 之間的小數，或 0% 到 100% 之間的百分比。
機率可以直接相加嗎？
僅當事件互斥時才可以。否則必須考慮重疊部分，避免重複計數。
「獨立」和「互斥」有什麼區別？
完全相反的概念。互斥是「不能同時發生」（拋硬幣正反面），一個發生另一個必然不發生，所以不獨立；獨立是「互不影響」（兩次拋硬幣），一個發生不影響另一個。記憶法：互斥事件**不能**獨立（除非某事件機率為 0）。混淆這兩者是機率題最常見的錯誤來源。
賭徒謬誤是什麼？
認為「連續出了 10 次紅，下一次出黑的機率更大」。實際上輪盤沒有記憶，每次獨立，黑的機率始終是約 48.6%（含 0 和 00 時）。歷史結果不會「補償」未來。反過來「熱手謬誤」（認為連贏會繼續）同樣是錯覺。真正會變化的是**非獨立**場景，比如抽牌不放回——牌堆會耗盡，機率才會變。