排列組合
計算有重複和無重複的排列和組合
如何使用排列組合
- 1輸入物品總數 n 與選取數 k。
- 2選擇排列（順序重要）或組合（順序無關）。
- 3檢視計數，以及（如需）公式展開。
排列與組合的區別
排列 P(n,k) = n! / (n-k)!；組合 C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)排列計算順序重要的安排數，如領獎臺名次；組合計算順序無關的分組數，如一手牌。
由於組合忽略順序，對相同的 n 與 k，C(n,k) 總小於或等於 P(n,k)。
排列數用階乘相除得到“從 n 個裡有序取出 k 個”的方式；組合數再多除以 k! 以消除 k 個元素的內部順序。因此對於同一個 n、k，組合總是等於排列除以 k!。
重複選取要換公式：允許重複時排列數為 n^k，組合數為 C(n+k−1, k)。抽獎（不放回）是典型的不重複組合，而“每天從 5 道菜裡選 1 道、可重複”則屬於可重複組合。
| n（總數） | k（選取數） | 排列 P(n,k) | 組合 C(n,k) | 說明 |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 20 | 10 | 順序有關則為排列 |
| 5 | 3 | 60 | 10 | 組合數不變因除以 k! |
| 10 | 2 | 90 | 45 | C = P ÷ k! |
| 8 | 4 | 1680 | 70 | k 越大差距越懸殊 |
| 6 | 6 | 720 | 1 | 取全部只有一種組合 |
不同 n, k 下的排列與組合對比
常見問題
何時順序重要？
當交換兩個被選項會產生不同結果時，如排名或密碼。
為何組合更小？
每組 k 個物品對應 k! 種排列，因此組合要除以 k!。
若 k = n？
兩者都等於 1：選取或排列全部物品只有一種方式。
允許重複時公式怎麼變？
可重複排列為 n^k；可重複組合為 C(n+k−1, k)，即把“選 k 個、允許重複”轉化為“從 n+k−1 個位置裡選 k 個”。
什麼是“隔板法”？
可重複組合常借隔板法理解：把 k 個相同球分到 n 類，等價於在 n+k−1 個間隔裡放 k 個隔板。