矩陣
執行矩陣運算：加法、乘法、轉置、行列式
如何使用矩陣
- 1輸入一個或兩個矩陣的維度與數值。
- 2選擇運算：加、乘、轉置、行列式或逆矩陣。
- 3檢視結果矩陣或標量，並逐格顯示。
矩陣運算基礎
乘法：C_ij = Σ A_ik × B_kj；2×2 行列式 = ad − bc矩陣是數字網格；乘法不是逐元素相乘，而是行與列的點積，因此維度必須對齊。
只有方陣才有行列式和逆矩陣；行列式為零意味著矩陣不可逆。
矩陣乘法最反直覺的一點是：它**不滿足交換律**，即 A × B ≠ B × A（多數情況下）。因為乘法規則是「A 的行與 B 的列做內積」，交換後參與配對的行列關係完全不同。這意味著解方程時「左乘」和「右乘」結果不同，必須區分。矩陣乘法滿足結合律 (AB)C = A(BC)，這個性質讓複雜變換可以分步計算。
行列式的幾何意義是**線性變換對面積的縮放倍數**。對 2×2 矩陣，|ad − bc| 就是單位正方形經變換後平行四邊形的面積。行列式為 0 意味著變換把平面壓縮成了一條線或一個點（資訊丟失），此時矩陣不可逆——這也就是為什麼求逆要求行列式不為零。這個幾何視角比死記公式更容易理解「為什麼行列式這麼重要」。
| 運算 | 公式（A = [[a,b],[c,d]]） | 結果型別 | 前提條件 |
|---|---|---|---|
| 加法 | 對應元素相加 | 矩陣 | 兩矩陣同型 |
| 數乘 | 每個元素乘 k | 矩陣 | 無 |
| 乘法 | 行 × 列 求內積 | 矩陣 | A 的列數 = B 的行數 |
| 行列式 | ad − bc | 標量 | 僅方陣 |
| 逆矩陣 | 1/(ad−bc) × [[d,−b],[−c,a]] | 矩陣 | 行列式 ≠ 0 |
2×2 矩陣的常見運算
常見問題
為何矩陣尺寸重要？
乘法要求 A 的列數等於 B 的行數，否則無定義。
何時逆矩陣不存在？
行列式為零時，矩陣奇異，無逆矩陣。
行列式有何用途？
它指示可逆性，並給出線性變換下面積/體積的比例。
矩陣有什麼實際用途？
極其廣泛。計算機圖形學中，平移、旋轉、縮放都是矩陣運算（3D 遊戲每秒進行數百萬次矩陣乘法）；機器學習中，神經網路的每一層本質就是矩陣乘法加啟用函式；搜尋引擎的 PageRank 演算法是求矩陣的特徵向量；經濟學中的投入產出分析、電路分析、量子力學，都依賴矩陣。它是現代科技最基礎的數學工具之一。
矩陣乘法為什麼要「行乘列」這麼彆扭？
因為矩陣表示的是線性變換，而乘法表示的是「變換的複合」。當你先做變換 B 再做變換 A 時，複合變換 A×B 的第 i 行第 j 列元素，恰好需要 A 的第 i 行與 B 的第 j 列做內積——這是複合運算的自然結果，不是人為規定。理解這一點後，「行乘列」就不再是死記的規則，而是有內在邏輯的必然。