長除法
透過逐步解決方案執行長除法
如何使用長除法
- 1輸入被除數（被除以的數）與除數（用來除的數）。
- 2執行計算器，逐步檢視商與餘數。
- 3讀取完整的小數結果；若不能整除，檢視餘數。
長除法如何運作
被除數 = 除數 × 商 + 餘數；0 ≤ 餘數 < 除數長除法不斷減去能容納的最大除數倍數，逐位下移數字，直到沒有餘數或得到迴圈小數。
餘數是整數商之後剩餘的部分，且始終小於除數。
長除法的本質是「逐位確定商」。每一步只處理一個數位：用除數去試當前被除的部分，得到商的一位，算出餘數，再把下一位「落」下來繼續。最終結果 1234 ÷ 12 = 102 餘 10，驗算方式是 12 × 102 + 10 = 1224 + 10 = 1234 ✓。這個驗算步驟值得養成習慣——它能在三秒內發現計算錯誤。
長除法雖然現在很少手算，但理解它的原理有兩個實際價值：一是它是多項式除法、大數除法演算法的基礎；二是它解釋了為什麼某些分數化成小數會迴圈。當餘數開始重複出現時，商的小數部分就開始迴圈——例如 1 ÷ 7 的餘數依次是 3, 2, 6, 4, 5, 1，第六步餘數回到 1，所以迴圈節長度是 6，得到 0.142857…
| 步驟 | 操作 | 商的一位 | 剩餘 |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 進 1 不夠，看 12 進 12（前兩位） | 1 | 12 − 12 = 0 |
| 2 | 落下 3，得 3；12 進 3 不夠 | 0 | 3 |
| 3 | 落下 4，得 34；12 進 34 兩次 | 2 | 34 − 24 = 10 |
| 4 | 無更多位數可落 | — | 餘數 10 |
長除法的逐步演示：1234 ÷ 12
常見問題
什麼是餘數？
當被除數不是除數的整數倍時剩下的量。
為何除法有時會迴圈？
某些分數的分母含有 2 和 5 以外的質因數，必然產生迴圈小數。
除數可以為 0 嗎？
不可以，除以零無定義，計算器會拒絕。
餘數一定要比除數小嗎？
是的，這是長除法每一步的約束條件。如果某一步的餘數大於或等於除數，說明商的這一位試小了，需要調大。這也提供了一個檢驗標準：最終餘數的取值範圍是 0 到「除數減 1」。例如除以 12，餘數只能是 0–11，如果算出 13，一定是哪裡錯了。
為什麼有些除法除不盡？
當餘數在過程中重複出現時，之後的計算會完全重複，小數開始迴圈——這就是迴圈小數的來源。分母只含質因數 2 和 5 的分數（如 1/2、3/8、7/20）可以化成有限小數，因為 10 = 2 × 5，十進位制下這兩個因數能「除盡」。分母含其他質因數（如 3、7）的分數必然迴圈，如 1/3 = 0.333…、1/7 = 0.142857…