對數
計算任意底數的對數
如何使用對數
- 1輸入需要取對數的數字，並選擇底數，如 10、e 或 2。
- 2選擇自然對數、常用對數或自定義底數（若可用）。
- 3檢視結果，即達到該數字所需的指數。
什麼是對數
log_b(x) = y 表示 b^y = x對數是乘方的逆運算：它告訴你底數要自乘到多少次冪才能等於該數字。
對數能把巨大的範圍壓縮成易處理的數字，這也是它出現在 pH、分貝和地震震級中的原因。
對數是指數的逆運算：logₐ(b) = c 等價於 aᶜ = b。三種常用底數各有分工：**log₁₀ 用於數量級**（pH 值、里氏震級、分貝都是它）、**ln（底數 e）用於連續增長模型**（複利、衰變、人口增長）、**log₂ 用於電腦科學**（二分查詢複雜度、資訊熵、演算法分析）。
對數的強大之處在於**把乘除變成加減、把冪變成乘法**：log(xy) = log x + log y，log(xⁿ) = n·log x。在沒有計算器的年代，這就是計算尺的原理。今天它依然重要：把跨度極大的資料（收入分佈、地震能量、音訊頻率）取對數後畫在圖上，指數關係就會變成直線，規律一目瞭然。
| x | log₂x | log₁₀x | ln x |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0.301 | 0.693 |
| e (2.718) | 1.443 | 0.434 | 1 |
| 10 | 3.322 | 1 | 2.303 |
| 100 | 6.644 | 2 | 4.605 |
| 1000 | 9.966 | 3 | 6.908 |
| 1024 | 10 | 3.010 | 6.931 |
常用對數數值速查
常見問題
ln 和 log 有什麼區別？
ln 使用自然底數 e（約 2.718）；log 在許多語境下指以 10 為底，但有些領域用 log 表示以 e 為底。
可以對零或負數取對數嗎？
零或負數沒有實數對數，因為那需要不可能的冪。
如何換底？
使用換底公式：log_b(x) = log_k(x) / log_k(b)，k 可為任意方便的底數。
不同底數的對數怎麼換算？
用換底公式：logₐ(b) = ln(b) / ln(a)，或任意同底對數相除。例如 log₂(10) = ln(10)/ln(2) = 2.303/0.693 = 3.322。計算器通常只提供 ln 和 log₁₀ 兩個鍵，算其他底數就要靠換底公式。
為什麼對數在演算法裡經常出現？
因為「每次把問題規模減半」的操作次數就是 log₂n。二分查詢在 10 億個資料裡找一個數只需 30 次比較（log₂(10⁹) ≈ 30），這就是 O(log n) 的威力。同理平衡樹、歸併排序、快速冪都含有對數項。資料翻倍時，log n 只增加 1——這是對數級增長最直觀的特徵。