指數
計算冪和指數表達式
如何使用指數
- 1輸入底數以及要施加的指數。
- 2選擇指數為正、負還是分數。
- 3檢視結果，注意負指數表示除以底數。
指數如何運作
a^n = a × a × …（n 次）；a^-n = 1 / a^n；a^(1/n) = n 次方根指數表示將底數自乘的次數；負指數會轉化為分數，而分數指數等同於開方。
指數把重複的乘法壓縮成緊湊的冪，這也是它出現在增長、衰減和科學計數法中的原因。
冪運算 aⁿ 表示 n 個 a 相乘。核心法則：同底數相乘指數相加（aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ）、冪的乘方指數相乘（(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ）、負指數是倒數（a⁻ⁿ = 1/aⁿ）、分數指數是開方（a^(1/2) = √a）。這幾條法則能化簡絕大多數的代數表示式。
「每天進步 1%」的雞湯其實是個數學事實：1.01³⁶⁵ ≈ 37.78，一年後是原來的 37 倍；反過來 0.99³⁶⁵ ≈ 0.026，一年後只剩 2.6%。**兩者的差距不是 2 倍而是 1400 多倍**，這就是指數增長的可怕之處。理解指數增長對理財（複利）、防疫（傳播速率）、技術發展（摩爾定律）都非常關鍵。
| 底數 | 指數 | 結果 | 應用 |
|---|---|---|---|
| 2 | 10 | 1,024 | 1 KB = 1024 位元組 |
| 2 | 16 | 65,536 | 16 位色深 / 埠號上限 |
| 2 | 32 | 約 42.9 億 | 32 位地址空間 |
| 10 | 3 | 1,000 | 千克 = 1000 克 |
| 10 | 9 | 10 億 | Giga 字首 |
| e | 1 | 2.71828 | 自然常數 |
| 1.01 | 365 | 37.78 | 每天進步 1% 的年複利 |
| 0.99 | 365 | 0.026 | 每天退步 1% 的年複利 |
常見冪運算結果速查
常見問題
負指數表示什麼？
表示 1 除以底數的該次冪，因此 2^-3 等於 1/8。
冪如何相乘？
保持底數不變、指數相加：a^m × a^n = a^(m+n)。
分數指數是什麼？
分母是根的次數；例如 x^(1/2) 就是 x 的平方根。
a⁰ 為什麼等於 1（a ≠ 0）？
可以從指數法則推導：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ。當 m = n 時，左邊是 aᵐ ÷ aᵐ = 1，右邊是 a⁰，所以 a⁰ = 1。也可以從遞減角度看：2³ = 8，2² = 4，2¹ = 2，每次除以 2，所以 2⁰ = 1，2⁻¹ = 0.5。注意 0⁰ 是未定義的。
科學計數法怎麼用？
把一個數寫成 a × 10ⁿ 的形式（1 ≤ |a| < 10）。例如 3,000,000 = 3 × 10⁶，0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴。指數 n 為正表示大數，為負表示小數。計算器上顯示為 3E6 或 3e6。處理天文數字或微觀尺度時，科學計數法比一長串 0 可靠得多。