信賴區間
計算平均值和比例的置信區間
如何使用信賴區間
- 1輸入樣本均值、標準差與樣本量。
- 2選擇置信水平（90%、95% 或 99%）。
- 3檢視誤差幅度以及區間的下限與上限。
置信區間說明什麼
CI = 均值 ± z × (s / √n)；誤差幅度 = z × s / √n置信區間給出一個範圍，在重複抽樣下，該範圍有設定百分比的機率包含真實總體引數。
區間越寬代表不確定性越大；增大樣本量或降低置信水平都會縮小誤差幅度。
置信水平越高，臨界值越大，區間越寬——這是在“把握”與“精度”之間權衡：想要更確定包含真值，就得接受更模糊的範圍。
當總體標準差未知且樣本較小（n < 30）時，應當用 t 分佈臨界值替代 z；t 分佈更“胖尾”，會給出更寬的區間以補償小樣本的不確定性。樣本增大後 t 會收斂到 z。
| 置信水平 | z 臨界值 | 區間寬度(相對) | 含義 |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 較窄 | 約每 10 次有 1 次不覆蓋真值 |
| 95% | 1.960 | 中等 | 最常用的預設水平 |
| 99% | 2.576 | 較寬 | 更保守、更難拒絕原假設 |
常見置信水平對應的 z 臨界值（大樣本）
常見問題
95% 是否表示真實值在區間內的機率為 95%？
不完全是；它表示在重複抽樣中，95% 的此類區間會覆蓋真實值。
為何 n 在根號下？
精度隨 √n 提升，因此樣本量需四倍才能把誤差減半。
z 與 t 用哪個？
總體標準差未知且 n 小時用 t；大樣本或已知 σ 用 z。
區間窄一定更好嗎？
不一定。窄區間可能來自低置信水平或小樣本導致的“虛假精確”；要結合置信水平和樣本量一起看。
兩個區間重疊能否說“無差異”？
不能。重疊不代表差異不顯著；判斷是否顯著需用專門的差異檢驗，或看差值區間是否包含 0。
置信區間和假設檢驗有什麼關係？
置信區間是看“合理範圍是否包含某個參考值”；假設檢驗則把它變成“能否拒絕該參考值”。兩者本質相連，只是表述方式不同。