三角形
根据边和角计算三角形的性质
如何使用三角形
- 1输入三角形的任意三个已知值，例如两边一角。
- 2若你的输入支持多种解法，选择求解方法。
- 3查看未知的边长、角度、面积与周长。
解三角形
正弦定理：a/sin A = b/sin B；余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cos C在已知部分足够时，三角学能求出其余量；使用哪条定律取决于你已知的是边还是角。
内角和为常数 180 度，这是验证解出的三角形是否有效的关键检查。
三角形的三条基本性质：**内角和恒为 180°**、**任意两边之和大于第三边**（这也是判断三边能否构成三角形的依据）、**大边对大角**。已知条件不同，使用的定理也不同：已知两边及夹角用余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)；已知两角一边或两边及一边的对角用正弦定理 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
面积计算有多种方法，按已知条件选择最方便的一种：**已知底和高**用 底×高÷2；**已知两边及夹角**用 S = ½ab·sin(C)；**已知三边**用海伦公式 S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]，其中 p = (a+b+c)/2 是半周长。海伦公式的好处是不需要求高，测量土地时只要量三条边就能算面积，实际应用中非常方便。
| 类型 | 角度 | 边长关系 | 面积公式 |
|---|---|---|---|
| 等边三角形 | 60°, 60°, 60° | a = b = c | √3/4 × a² |
| 等腰直角 | 45°, 45°, 90° | 1 : 1 : √2 | a² / 2 |
| 30-60-90 | 30°, 60°, 90° | 1 : √3 : 2 | √3/2 × a²（a 为短边） |
| 3-4-5 直角 | 约 37°, 53°, 90° | 3 : 4 : 5 | 6（两直角边积÷2） |
| 等腰三角形 | 两底角相等 | 两腰相等 | 底 × 高 ÷ 2 |
常见特殊三角形的边长与角度
常见问题
该用哪条定律？
已知一边及其对角时用正弦定理；已知两边及其夹角时用余弦定理。
为什么角度加起来不是 180？
舍入会造成微小漂移；求解时保留完整精度，只在最后舍入。
任意输入都能解吗？
不是。某些组合（如仅有三个角）无法确定三角形的大小。
怎么判断三条线段能否组成三角形？
只需检查「较短两边之和是否大于最长边」。例如 3、4、7：3+4 = 7，等于最长边，退化成一条直线，不能构成三角形；3、4、6：3+4 = 7 > 6，可以。不需要检查三次，检查这一次就够了——因为最长边加任意一边必然大于第三边。
正弦定理出现两解怎么办？
「已知两边及其中一边的对角」（SSA）是唯一可能有两解、一解或无解的情形，称为「歧义情况」。例如已知 a = 10、b = 13、A = 40°，可能有两个不同三角形都满足条件。判断方法：比较 a 与 b·sin(A) 的大小。遇到这种情况要结合题目语境判断哪个解合理，或明确指出存在两种可能。