根
计算平方根、立方根和n次根
如何使用根
- 1输入被开方数（根号下的数）以及根指数，例如平方根为 2。
- 2若提供选项，选择是否允许对负数输入返回复数结果。
- 3查看主根；对于平方根，还会给出正负两个值。
理解根号
x 的 n 次方根 = y，满足 y^n = x；平方根即指数为 2根回答的是「哪个数自乘到这个次数会得到被开方数」，其中平方根最常见。
负数的偶次根不是实数，因此计算器视模式不同，要么报错，要么返回复数。
n 次方根是幂运算的逆：若 xⁿ = a，则 x 是 a 的 n 次方根，记作 ⁿ√a 或 a^(1/n)。**偶数次方根要求被开方数非负**（负数在实数范围内没有平方根），**奇数次方根可以是负数**（−8 的立方根是 −2，因为 (−2)³ = −8）。计算器对负数开偶次方会报错或给出复数结果，这是正常的。
手算平方根可以用**牛顿迭代法**，这也是计算器内部的算法：猜测值 x，用 (x + a/x) ÷ 2 作为新猜测，反复迭代会迅速收敛。算 √10：猜 3 → (3+10/3)/2 = 3.1667 → (3.1667+10/3.1667)/2 = 3.1623，两步就精确到小数点后 4 位。**这个「取平均」的思路同样适用于手算立方根和更复杂的方程求根。**
| 被开方数 | 平方根 | 立方根 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1.4142 | 1.2599 | √2 是最早发现的无理数 |
| 3 | 1.7321 | 1.4422 | 等边三角形高 = 边长×√3/2 |
| 4 | 2 | 1.5874 | 完全平方数 |
| 5 | 2.2361 | 1.7100 | 黄金比例含 √5 |
| 8 | 2.8284 | 2 | 2√2 / 完全立方数 |
| 10 | 3.1623 | 2.1544 | 数量级常用 |
| 27 | 5.1962 | 3 | 完全立方数 |
| 100 | 10 | 4.6416 | 完全平方数 |
常用方根数值速查
常见问题
为什么平方根有两个？
正数和负数平方都会得到相同的值；显示的主根是其中的非负数。
可以对负数开根吗？
负数的奇次根（如立方根）是实数，但偶次根不是实数，除非开启复数模式。
什么是根指数？
它是标明取哪种根的小数字：2 为平方根，3 为立方根，依此类推。
√(a+b) 等于 √a + √b 吗？
不等于，这是最常见的错误。反例：√(9+16) = √25 = 5，而 √9 + √16 = 3 + 4 = 7。根号只对乘除有分配律：√(a×b) = √a × √b，√(a/b) = √a / √b。所以化简 √12 要拆成 √(4×3) = 2√3，这是正确的做法；但 √(4+3) 不能拆。
为什么 √2 是无理数？
经典反证法：假设 √2 = p/q（最简分数），则 p² = 2q²，说明 p² 是偶数，p 也必是偶数，设 p = 2k，代入得 4k² = 2q²，即 q² = 2k²，q 也是偶数。p、q 都是偶数与「最简分数」矛盾。所以 √2 无法表示成分数，是无理数（小数位无限不循环）。这个证明据传让毕达哥拉斯学派的希帕索斯付出了生命代价。