排列与组合
计算有无重复的排列与组合
如何使用排列与组合
- 1输入物品总数 n 与选取数 k。
- 2选择排列（顺序重要）或组合（顺序无关）。
- 3查看计数，以及（如需）公式展开。
排列与组合的区别
排列 P(n,k) = n! / (n-k)!；组合 C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)排列计算顺序重要的安排数，如领奖台名次；组合计算顺序无关的分组数，如一手牌。
由于组合忽略顺序，对相同的 n 与 k，C(n,k) 总小于或等于 P(n,k)。
排列数用阶乘相除得到“从 n 个里有序取出 k 个”的方式；组合数再多除以 k! 以消除 k 个元素的内部顺序。因此对于同一个 n、k，组合总是等于排列除以 k!。
重复选取要换公式：允许重复时排列数为 n^k，组合数为 C(n+k−1, k)。抽奖（不放回）是典型的不重复组合，而“每天从 5 道菜里选 1 道、可重复”则属于可重复组合。
| n（总数） | k（选取数） | 排列 P(n,k) | 组合 C(n,k) | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 20 | 10 | 顺序有关则为排列 |
| 5 | 3 | 60 | 10 | 组合数不变因除以 k! |
| 10 | 2 | 90 | 45 | C = P ÷ k! |
| 8 | 4 | 1680 | 70 | k 越大差距越悬殊 |
| 6 | 6 | 720 | 1 | 取全部只有一种组合 |
不同 n, k 下的排列与组合对比
常见问题
何时顺序重要？
当交换两个被选项会产生不同结果时，如排名或密码。
为何组合更小？
每组 k 个物品对应 k! 种排列，因此组合要除以 k!。
若 k = n？
两者都等于 1：选取或排列全部物品只有一种方式。
允许重复时公式怎么变？
可重复排列为 n^k；可重复组合为 C(n+k−1, k)，即把“选 k 个、允许重复”转化为“从 n+k−1 个位置里选 k 个”。
什么是“隔板法”？
可重复组合常借隔板法理解：把 k 个相同球分到 n 类，等价于在 n+k−1 个间隔里放 k 个隔板。