对数
计算任意基数的对数
如何使用对数
- 1输入需要取对数的数字，并选择底数，如 10、e 或 2。
- 2选择自然对数、常用对数或自定义底数（若可用）。
- 3查看结果，即达到该数字所需的指数。
什么是对数
log_b(x) = y 表示 b^y = x对数是乘方的逆运算：它告诉你底数要自乘到多少次幂才能等于该数字。
对数能把巨大的范围压缩成易处理的数字，这也是它出现在 pH、分贝和地震震级中的原因。
对数是指数的逆运算：logₐ(b) = c 等价于 aᶜ = b。三种常用底数各有分工：**log₁₀ 用于数量级**（pH 值、里氏震级、分贝都是它）、**ln（底数 e）用于连续增长模型**（复利、衰变、人口增长）、**log₂ 用于计算机科学**（二分查找复杂度、信息熵、算法分析）。
对数的强大之处在于**把乘除变成加减、把幂变成乘法**：log(xy) = log x + log y，log(xⁿ) = n·log x。在没有计算器的年代，这就是计算尺的原理。今天它依然重要：把跨度极大的数据（收入分布、地震能量、音频频率）取对数后画在图上，指数关系就会变成直线，规律一目了然。
| x | log₂x | log₁₀x | ln x |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0.301 | 0.693 |
| e (2.718) | 1.443 | 0.434 | 1 |
| 10 | 3.322 | 1 | 2.303 |
| 100 | 6.644 | 2 | 4.605 |
| 1000 | 9.966 | 3 | 6.908 |
| 1024 | 10 | 3.010 | 6.931 |
常用对数数值速查
常见问题
ln 和 log 有什么区别？
ln 使用自然底数 e（约 2.718）；log 在许多语境下指以 10 为底，但有些领域用 log 表示以 e 为底。
可以对零或负数取对数吗？
零或负数没有实数对数，因为那需要不可能的幂。
如何换底？
使用换底公式：log_b(x) = log_k(x) / log_k(b)，k 可为任意方便的底数。
不同底数的对数怎么换算？
用换底公式：logₐ(b) = ln(b) / ln(a)，或任意同底对数相除。例如 log₂(10) = ln(10)/ln(2) = 2.303/0.693 = 3.322。计算器通常只提供 ln 和 log₁₀ 两个键，算其他底数就要靠换底公式。
为什么对数在算法里经常出现？
因为「每次把问题规模减半」的操作次数就是 log₂n。二分查找在 10 亿个数据里找一个数只需 30 次比较（log₂(10⁹) ≈ 30），这就是 O(log n) 的威力。同理平衡树、归并排序、快速幂都含有对数项。数据翻倍时，log n 只增加 1——这是对数级增长最直观的特征。